育才学习网1. 什么是“阿列夫零”
无穷饭店 在基塔离开之前，他讲了一个稀奇的故事。
基塔：“无穷饭店”是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间，这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。
房间号从1开始，无限制地排下去。 基塔：一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一位飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。
基塔：尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。
于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。 基塔：第二天又来了五对夫妇渡蜜月。
无穷饭店能不能接待他们？可以，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇 基塔：周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。 赫尔曼：我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？ 基塔：很容易，我亲爱的赫尔曼。
老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。 赫尔曼：对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！ 关于无穷大还有很多悖论。
计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！ 德国数学家乔治·康妥发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。
关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系。
对于无穷集这—点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。
确实，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治·康妥称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一一对应，并余下一个元素，或者五个元素。
显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。还有一个办法可以使这一减法形象化，想象有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，把两棍棒的零端对齐放在桌子中心。
两根棒都刻了线，按厘米计数。两根棒在右端延伸到无穷远，所有数都一一对应：0—0、1—1、2—2等等。
现在想象把一根棒向右移动n厘米。移动以后，那棍棒上的所有数仍与不动的棒上的数一一对应。
如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0—3、1—4、2—5、……。移动的n厘米代表两棍棒长之差。
不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。
饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。
让每一个数与每一个偶数一一对应，则余下的是一个由全部奇数所构成的阿列夫零集。由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康妥称之为阿列夫1。
康妥的辉煌成就之一就是著名的“对角线证明”，它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫1的元素构成一一对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。
康妥证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。阿列夫1又称为“连续统的势”。
阿列夫2是一切可能的数学函数——连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。
同样，如果我们所指的曲线是在一张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一个无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。康妥还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。
当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一一对应。因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。
在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？康妥确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。
1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致的。1963年，保罗·科恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论矛盾。
简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。科恩的研究结果是：集合论现在分为康妥型和非康妥型的。
康妥型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康妥型集合论是假定有无限多个中介数。
情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。希望学习更多关于这些神秘的超限数知识的学生可以阅读爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼著的《数学与想象力》第二章“古格尔之后”和《科学美国人》1966年三月号数学游戏。
2. 阿列夫0属于阿列夫1
阿列夫0是指所有整数构成的集合的基数，阿列夫1是指所有实数构成的集合的基数，我们假设（0,1]内所有的实数可以按某种规律这样列出来：
a1:0.125625562……
a2:0.554554555……
a3:0.165415641……
a4:0.541878811……
……
那么实数就可以与整数一一对应。
但是，我们可以构造一个数b，使得b的小数点后第一位不同于a1的小数点后第一位，第二位不同于a2第二位……第n位不同于an的第n位（这样是容易办到的，因为每个实数的任一位都有10个数字可以选择，除去与an第n位相同的数字，还剩9个数字任我们挑选，比如b的第一位只要不是1就行了，我们可以随便挑一个，比如2,3,4…），那么我可以说b是实数，但它不在刚才列举的实数之中，因为把b与上面的每一个实数对比，至少有1位是不同的。这样就说明上面的规律是错误的，它并不能列举出所有的实数。当然其它的规律也可以用这样的方法反驳。所以，实数集无法与整数集一一对应，实数集的基数比整数集的基数大。
因此，阿列夫1大于阿列夫0。
证毕。
这种证法是1873年集合论之父康托尔给戴德金的信中提出的。
3. 阿列夫零的构造性定义
在集合论这一数学分支里，阿列夫数，又称阿列夫数是一连串超穷基数。
其标记符号为 ℵ （由希伯来字母 א 演变而来）加角标表示可数集（包括自然数）的势标记为ℵ₀，下一个较大的势为ℵ₁，再下一个是ℵ2，以此类推。一直继续下来，便可以对任一序数 α 定义一个基数。
这一概念来自于格奥尔格·康托尔，他定义了势，并认识到无限集合是可以有不同的势的。阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限（∞） 不同。
阿列夫数用来衡量集合的大小，而无限只是定义成实数线上的最大的极限或扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数，而无限只是无限而已。
4. 实数和复数等势怎么证明
有限集和无限集不是这样分的.问题有点复杂，先给你答案. 自然数集、有理数集、代数数集都是可列集. 实数集、复数集、直线点集、平面点集都是不可列集（或不可数集）. 有限集都可以说是自然数的真子集，当然可列，但没有可列有限集这个词.不这到叫. 下面是分析. 区分集合的有限和无限，是根据集合的基数. 说通俗点（但不够科学）就是集合中元素的个数.用数字，1,2，……表示. 如集合{1,2,3}有三个元素，基数是3.基数（cardinal number）也叫势（cardinality）. 集合的基数是任何一个具体数字时，就叫做有限集合. 而当一个集合的基数超过自然数的范围，就是说比任何一个自然数都要大时.就是无限集合. 比如全体自然数是第一个无限集合.它的基数叫做阿列夫零，阿列夫（aleph），是希伯来文字母表的第一个字母.很难写，就不给你写了.我用（aleph）表示. 无限集合和有限集合有一个本质的区别是， 每个有限集合都大于它的真子集.像{1,2,3}比{1,2}大. 而无限集合在有时候“等于”它的某些真子集. 用集合的语言就是映射，即它和它的一个子集能形成一一对应关系. 比如，全体自然数{1,2,3，……}对应于{1,4,9，……}，明显，后者是前者的真子集. 但确实，你说出任何一个自然数，都有一个它的平方和它对应，而且也是自然数. 所以，阿列夫零（aleph）0有个性质，那就是，（aleph）零=（aleph）零+1.其实，你随便加多少都一样. 同样你也能看到，全体整数也和自然数对应.它们有同样的基数（aleph）零.也就是（aleph）零+（aleph）零=（aleph）零. 用专业的话叫做等势.通俗点讲就是，我去掉它的一半，它还有原来相等.这就是它的无限性. 无限下的运算不能按常规下的来，但它的运算法则，也可以说清楚. 其实，全体自然数，整数，以及自然数中那种1,4,9，……等数列的基数都相等，就是（aleph）零，连全体有理数的基数也是（aleph）零.证明这些的关键是，能在这两种集合之间的构造出一个一一对应关系的映射. 下面再解决可列与不可列的问题. 但并不是所有无限集合都和全体自然数，也就是基数为（aleph）零的无限数能构成一一对应.比如，实数.当然全体实数也是无限的，但它却和自然数之间构造不出一一对应关系.所以，在全体实数这个无穷之上，还有更大的无穷.其实，根据无限的定义，就可以知道，有比（aleph）零大的无穷.比如，2的（aleph）零次方（专业的叫法是它的幂集，不写它了）.也就是说，（aleph零）<2^(aleph零)，我们叫，2^(aleph零)=（aleph壹）. 甚至这个问题可以接着往下数.所有这些都叫做超限数. 但我们知道，全体自然数是可以列举出来的.所以，这种集合我们叫它可列. 但我们同时知道，全体实数是无法列出来的，甚至用一个无限集也无法把它间接列出来. 全体有理数虽然本身无法全部列举，可是我们却可以用全体自然数和它之间建立一个一一映射关系.比如，把全体有理数，表示成，……q(0),q(1),q(2)，……，所以它也可列.这是可以严格证明的，但全体实数无法给出这种证明.所以，它就是不可列的. 我不给你说清楚的界线，是因为目前还有些问题没有解决. 比如，全体实数的基数是我们知道的第一个不可列无穷基数，我们叫它为C. 但它在上面（aleph）系列中对应于谁现在还没有解决.集合论的创始人康托尔本人，认为，实数的基数C=(aleph壹). 但在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？康妥确信不存在这种数.他的猜测成为著名的广义连续统假设. 这是二十世纪最著名的数学问题之一. 这是一个今天还在发展着的前沿.。
