育才学习网1.第六题解释一下什么叫24元循环群,以及什么叫子群,四阶又是啥
单位元也称为幺元，群的任何元素和它运算，保持该元素不变，如整数（实数）对普通加法0是单位元，因为对任意整数x,0+x=x，整数（实数）对普通乘法1是单位元，因为对任意整数x,1*x=x，如果一个元素自已与自已运算记为x*x，称为x的平方，x*x再与自已运算记害海愤剿莅济缝汐俯搂为x*x*x称为x的3次方，。依次下去，如果的x方幂（任意次方）能产生出所有元素，则称该元素为生成元，此时该群为循环群，比如整数对普通加法0是单位元，但0+0=0,0+0+0=0，。.产生不出所有整数，故不是生成元，但1却是生成元，1+1=2,1+1+1=3，。.因此单位元和生成元是两个不同的概念，一般说单位元一定不是生成元，除非是群中仅有一个元素.
在（a +5）群中，它的加法与普通加法不同，对任意a中的x,y,x+y=x与y普通加法之和用5除的余数，如3+4=2,3+3=1,2+3=0，等等，因此a中元素仅能是0 1 2 3 4 ,1+1+1+1+1=0
2.怎么证循环群的子群还是循环群
设G为循环群，那么G有生成元x，使得任何非单位元g属于G，均存在最小的正整数n，满足g=x^n。
因此若H是G的子群，其任何元素非单位元h，均有h=x^n的形式.
不妨设d>0是满足x^d属于H的最小整数.我们下面证明x^d是H的生成元.
任取x^a属于H(a>0).
则x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n属于H。
由Euclid辗转相除法知，存在m,n使得：
am+dn=(a,d)>0，这表明x^((a,d)）属于H,
因为a=a1*(a,d),d=d1*(a,d)，所以x^a,x^d可由x^((a,d)）生成.
因此（a,d）又x^a是在H中任意取的非单位元.
故H中的任何元素均可由x^d生成.即H中的非单位元均是形如x^(dn)形式。故H是循环群.
3.剩余类加群的子群必是循环群
有个结论：Zn的子群为rZn形式，其中r是n的某个因子，且rZn为n/r阶循环群。
证明罗嗦些。做Z到Zn的自然映射f，将m映入m的模n剩余类，kerf=Z/Zn=nZ，由对应定理kerf=nZ,Z的包含nZ的子群qZ(q整除n)和nZ的子群H存在一一对应关系。
因为q*（表q的模n剩余类）属于H，所以q*,2q*，……，都rq=n属于H，故H中恰有n/q个元，且H=<q*>；，即H为循环群
第二问，因为n为素数，而素数阶群必为循环群。因为H中任何元生成子群H的阶m整除G的阶n，而n为素数，所以m=1或n，即H={e}或G
证毕。
4.置换群的置换群的循环表示
约定 为一个m阶的循环表示，其表示为将 替换为 ， 将 替换为 ，。。， 将 替换为 ，将 替换为 。（a1a2…am）=(a2a3…ama1)=…=（ama1…am-1）有m种表示方法。
若两个循环无共同文字，称为不相交的，不相交的循环相乘可交换。 任一置换可表成若干不相交循环的乘积。比如 称为是置换的循环表示。证明如下：
对给定的任一置换p= ，从1开始搜索
1→ → →…→ →1得一循环（1 … ），
若（1 … ）包含了[1,n]的所有文字，则命题成立。
否则在余下的文字中选一个，继续搜索，又得一循环。直到所有文字都属于某一循环为止。
因不相交循环可交换，故除了各个循环的顺序外，任一置换都有唯一的循环表示。
2阶循环（i,j）叫做对换，任意一个循环都能表达成若干换位之积。任意一个循环分解为若干之积不是唯一的，甚至与连换位的数目都不相同。例如（12 …n）=(23)(2 4)…（2 n）(2 1),(12 3) = (12)(13) = (12)(13)(31)(13)。但是有一个性质是不变的，即换位数目的奇偶性不变。即一个置换分解为若干个数目的置换之积，可分解成奇数个换位之积的置换，不可能表示为偶数个换位之积；反之，也成立。证明如下：
设l,k(l<k)为正整数常数，则有
其中A为不含有xk和xl项的部分
若将l和k换位，（l k）f =-f
每次对换都改变f的符号，则对应的分解的奇偶性是唯一的。 置换分成两大类：奇置换与偶置换。
若一个置换能分解为奇数个换位之积，则为奇置换，若可以分解为偶数个换位之积，则为偶置换。
S= (1)(25)(37)(46) 3个换位，奇置换
S= (1) (2) (3) (4) (5) 0个换位，偶置换
例右图中0表示空格，有些布局通过左图偶数次换位得到，有些是奇数次换位得到，但奇数次换位得到的不能通过偶数次换位来得到。如果限制任一变动都是与0做相邻的对换，是否能够由左图生成右图？
显然0从右下角出发回到右下角，水平方向上，垂直方向上都做了偶数次对换。一个奇置换不会等于一个偶置换。
[1,n]上的所有置换（共n！个）构成一个群，称为n阶对称群（Symmetricgroup），记做Sn.
定理： Sn中所有偶置换构成一阶为（n!）/2的子群称为交错群，记做An.
(1)封闭性：偶置换相乘还是偶置换
(2)结合律：置换群的结合律
(3)单位元：置换群的单位元素本身就是偶置换
(4)逆元 =
设 p =（)（)…（），则p-1 = （)…（）
故An为群
令Bn=Sn-An,|Bn|+|An|=n!,
则（ij） BnAn，所以 |Bn|≤|An|,
(ij) An Bn，所以|An|≤|Bn|∴|An|=|Bn|=(n!)/2
5.“除平凡子群外无其他子群的群是素数阶循环群”怎样证明
沙发
证明：设群G无非平凡子群，a是G中的非单位元，则H=(a)是G的子群且H≠{e}，所以G=H=(a)，所以G是循环群。
如果G是无限群，因为G≌Z，但Z有无穷多个非平凡子群nZ，矛盾，G必是有限群。
不妨设G为n阶群，则G≌ Zn，考虑Zn中任一循环子群（a）,a∈Zn且非单位元，因为Zn无非平凡子群，所以Zn=(a)，故a和n互素，即（a,n）=1这对一切1<a<n成立，显然n是素数。证毕。
显然，群G无非平凡子群是G是素数阶循环群成立的充分必要条件。
6.子群的直积是子群么
您好， 我对群论不太熟， 仅供参考.
"内直积" 对于一般的子群甚至无法定义，所以我将您的问题理解为：
令 G 是一个群， H, K 是子群， 那么 H 与 K 的外直积能否嵌入 G ?
这个一般显然是不行的， 例如令 G = H = K = 整数加群 Z ， 此时外直积 H * K = Z * Z 不是循环的 ， 而 Z 的非平凡子群都是无限循环群.
（觉得自己的回答有点别扭， 如果理解错了请见谅哈。。..）
7.如何证明无限循环群的所有子群也为无限循环群
设G为循环群，那么G有生成元x，使得任何非单位元g属于G，均存在最小的正整数n，满足g=x^n。
因此若H是G的子群，其任何元素非单位元h，均有h=x^n的形式.
不妨设d>0是满足x^d属于H的最小整数.我们下面证明x^d是H的生成元.
任取x^a属于H(a>0).
则x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n属于H。
由Euclid辗转相除法知，存在m,n使得：
am+dn=(a,d)>0，这表明x^((a,d)）属于H,
因为a=a1*(a,d),d=d1*(a,d)，所以x^a,x^d可由x^((a,d)）生成.
因此（a,d）
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