育才学习网1.利用泰勒公式求极限,怎么做
就是记住那五六个基本函数的展开式，遇到类似的函数极限时，如果等价无穷小和罗比达法则什么的不好用或者较复杂时，可以考虑泰勒级数展开求极限，至于展开到几阶，一般视分子或者分母而定，如果是两个相加或者相减函数的展开，那么就是展开，遇到系数不为零的那个无穷小出现为止。
lim(x–>0){1+1/2(x^2)-(1+x^2)^(1/2)}/{(cosx-e^(x^2))sin(x^2)}
首先分子中的（1+x^2）^(1/2)这一项需要进行展开，由于分子中还有1+1/2(x^2)这一项，所以你只需要把他展开到x的4次项就可以了。这也就是我前面所讲的展开到系数不为零的那一项出现为止
然后，由于分子等价于x^4/8，所以分母也往这个方向靠就行了。由于分母中有一个sin(x*x)等价于x^2，所以前面的cosx-e^(x^2)当然也仅需要展开到x的2次方项就可以了。
因为cosx-------1-0.5x*x
e^x---------x
把上述等价无穷小带入分母即可，答案应该是 -1/12
2.用泰勒公式计算极限,要过程
(2) y → 0时， √（1+y） = 1+y/2-y^/8+o(y^2)，因此x → 0时√（1+x^2） = 1+x^2/2-x^4/8+o(x^4)，即分子√（1+x^2）-1-x^2/2 = -x^4/8+o(x^4).y → 0时， e^y = 1+y+o(y^2)，因此x → 0时e^(x^2) = 1+x^2+o(x^2).又cos(x) = 1-x^2/2+o(x^2)，故e^(x^2)-cos(x) = 3x^2/2+o(x^2)，可得x^2·（e^(x^2)-cos(x)) = 3x^4/2+o(x^4).因此x → 0时（√（1+x^2）-1-x^2/2)/(x^2·（e^(x^2)-cos(x)))= (-x^4/8+o(x^4))/(3x^4/2+o(x^4))= (-1/8+o(1))/(3/2+o(1)）→ -1/12.又x → 0时， sin(x^2)/x^2 → 1，相除即得所求极限为-1/12.(3) 由正切差角公式， tan(arctan(x+1)-arctan(x)) = 1/(1+x+x^2)，可得arctan(x+1)-arctan(x) = arctan(1/(1+x+x^2)）.由y → 0时， arctan(y) = y+o(y).因此x → +∞时， arctan(1/(1+x+x^2)) = 1/(1+x+x^2)+o(1/(1+x+x^2)),x^2·arctan(1/(1+x+x^2)) = x^2/(1+x+x^2)+o(x^2/(1+x+x^2)） → 1。
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