育才学习网1. 什么叫加法交换律,什么叫加法结合律
加法交换律是数学计算的法则之一。指两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
用字母表示为：a+b=b+a
例题：
65+18=18+65
73+84+27=73+27+84
加法结合律是三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。和不变，这叫做加法结合律。
用字母表示为：（a+b）+c=a+(b+c)。
例题：
99+256+44
=99+(256+44)
=99+300
=399
区别：
2. 证明加法的交换律
这个是个比较基础的问题。涉及数学基础上的一些概念，我只能说一个思路：
1.先搞清楚自然数是怎么定义的。（涉及到集合论，后继，序）
2.然后在定义的这个结构（自然数集）上定义一种运算（即一种2元函数）
定义方法如下：
f(a,1)=a' a'即a的后继
f(a,0)=a
f(a,b)=f(b,a) （即交换律是定义的）
f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c） （即结合率）
3.然后证明这个定义是合理的，即按这种定义定义的2元函数存在且唯一。
4.最后验证这个定义恰好和我们平常的加法一样，也就是说加法具有交换律。
在更一般的数学结构（比如说群）上，交换律也一般作为定义或类似于公理的形式给出。当然类似的证明也是存在的，但是很麻烦。
或
数学归纳法
当n=0时 左边=m+0=m 右边=0+m=m 显然左边=右边
假设当n=k k属于N时 等式成立 即m+k=k+m
则当n=k+1时 m+(k+1)={0 1 2 。 m+(k+1)-1}={0 1 。 m+k}（自然数定义构造）
(k+1)+m={0 1 2 。 (k+1)+m-1}={0 1 。 k+m}
根据假设则m+k=k+m 所以 m+(k+1)=(k+1)+m
所以对于所有的n属于N都有m+n=n+m
证毕
另附：2+3=5证明
因为：2 = 1 + 1;3 = 1 + 1 + 1;
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1;
所以：
2 + 3 = (1 + 1) + (1 + 1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5;
证讫。
前面是 2、3、5的定义，后面是加法规则。由此可见，一个严格的证明要涉及自然数和加法的定义。
自然数的定义，可用（Giuseppe Peano,1858~1932，意大利数学家，逻辑学家）公理：
自然数的集合 N 符合下面的公理：
公理 1: 1 为 N 的元素；（换言之，N 非空集）
公理 2：对于 N 的任一元素 n 存在唯一的 {n}，称之为其后继，其也为自然数，即也在 N 内。（同一元素，有同一后继。）
公理 3： 对于 N 的任一元素 n, {n} 不是（或说，不等于） 1。（这样，N 至少有两个元素了。）
公理 4:N 内不同的元素，有不同的后继。（此公理确定 N 内不止两个元素。如其不然，1 的后继为 2,2 的后继也为 2，这符合前面三个公理，于是 N 仅有两个元素了。）
公理 5：（归纳公理）对于任何集合 M，如其满足如下两个条件：1) 1 是其元素；2）对于其任意元素 m，其后继 {m}也是其元素，则 M 已包含全部自然数 N。
公理 5 对全部自然数加以界定，是归纳法的基础。
在此五个公理的基础上，我们就有了 1、2、3、4、5、6、。。，无非是命名的问题，或称记数法。
下面对加法（+）加以定义。加法施于自然数 N 的任意两个元素 n 和 m，满足如下条件：
1)n + 1 = {n};
2) n + {m} = {n + m}
不难证明，这样的运算存在，而且唯一。继而，我们可一证明加法的交换律