育才学习网1.圆周率的计算公式
一、中国圆周率公式的分类 外国圆周率公式为高精度圆周率的计算立下了汗马功劳，并为许多数学人所熟习，但并不适合普通人使用，下面向数学爱好者和中学生们介绍一组中国人自己研究的普及型圆周率公式： 一基本公式： ⑴π=180°sinθ∕θ 、⑵π=180°∕（θ cscθ）、⑶π=180°tgθ∕θ 、⑷π=180°∕（θ ctgθ） 、（θ→0°θ>0°） 此类公式以圆内接或外切直角三角形或正多边形的边所对应的圆心角为计算依据，外形简单，计算方便，对圆周率的概括比较全面系统；同时，既是1弧度公式，又是1角度公式。
二派生公式： ⑸π=（n/2）*sin(360°∕n) 、⑹π=1∕（（2/n）*csc(360°∕n)） 、⑺π=（n/2）*tg(360°∕n) 、⑻π=1∕（（2/n）*ctg(360°∕n)） 、（n→∞， n≥5） 此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切直角三角形数量为计算依据，是专用性、针对性较强的圆周率公式。 三派生公式： ⑼π=nsin(180°∕n) 、⑽π=n/csc(180°∕n) 、⑾π=ntg(180°∕n) 、⑿π=n/ctg(180°∕n) 、（n→∞，n≥3） 此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切正多边形的边数为计算依据，是中国割圆术公式的典型代表。
四专业公式： ⑴π=2^n√（2-√（2+…√2+）…） ⑵π=3*2^n√（2-√（2+…√（2+√3）…） ⑶π=2*2^n√（2-√（2+…√2+）…）/√（2+√（2+…√2+）…） ⑷π=6*2^n√（2-√（2+…√3）…）/√（2+√（2+…√3）…） （n→∞，根式中有n个2） 专业公式可由基本公式或倍边公式推导，它们是割圆术公式的最高形式，是以圆内接或外切正四边形或正六边形为基础，不断分割至无穷，从而得到适合专家们使用的表达式。 根据以上公式和三角函数间的关系，还可导出更为复杂一些的圆周率公式。
二、中国圆周率的计算 在圆周率的日常应用中，我们根本不需要对其进行计算，因为数学家已经计算好了，直接拿来运用即可；但对于数学爱好者和中学生来说，亲自动手计算圆周率，将会进一步加深对圆周率的理解。 在计算机发明以前，圆周率的计算主要是靠手工计算和其他简易工具的计算，今天我们可以直接运用计算机或计算器进行计算，计算器的精度一般在10位左右，计算机上的计算器精度一般在30或60位左右，如果需要数以万计、亿计的精度，则需要将三角函数原始公式代入，转换成专业公式并编制专用程序进行计算即可，这里只是简单介绍常规计算。
圆周率公式非常多，我们只取其中几个最简单的中国圆周率公式进行讲解： ⑴ π=180°sinθ∕θ 、⑵ π=180°tgθ∕θ 、（θ→0°θ>0°） 一模拟计算正24576边形的圆周率（祖率） ∵ θ=180°∕24576=0.007324219° ∴ ⑴ π=180°sinθ∕θ =180°*sin0.007324219°∕0.007324219° =180°*0.0001278317363∕0.007324219° =3.1415926 ∴ ⑵ π=180°tgθ∕θ =180°*tg0.007324219°∕0.007324219° =180°*0.0001278317374∕0.007324219° =3.1415927 如果采用传统的割圆术公式（倍边公式）进行祖率计算，运算过程将达上百步，不管是采用手工还是计算器，其运算过程都是十分繁琐的。 二计算30位精度的圆周率（win系统计算器） 一般地，θ小数每增加一位，则π有效值增加两位。
为了简化运算，θ取值为1.8°*10^(-15)即可。 ∴ ⑴ π=180°sinθ∕θ =sin(1.8°*10^(-15))*180°∕1.8°*10^(-15) =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5*10^(-17) *180°∕1.8°*10^(-15) =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5 ∴ ⑵ π=180°tgθ∕θ =tg(1.8°*10^(-15))*180°∕1.8°*10^(-15) =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5*10^(-17) *180°∕1.8°*10^(-15) =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5 三十位或六十位的精度已能满足大多数科研及专业应用，成千上万、上亿位的精度主要是专家们为了检验圆周率公式及程序的优劣和计算机性能的高低等特殊需要而存在的。
三计算100位精度的圆周率（专业软件） 取π=2^n√（2-√（2+…√2）…） （n→∞） 该公式的精度一般为0.56n，即n=100/0.56≈180 π=2^180√（2-√（2+…√2）…） =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 8 利用计算器、计算机计算圆周率效率极高，相信一定能够给数学爱好者和中学生们带来意想不到的效果。 三、中国圆周率的主要作用 在圆周率的历史长河中，由于计算工具和计算方法的落后，圆周率公式的推导主要是为手工计算而设计的，其主要作用就是为计算而计算，因而得出的圆周率公式非常复杂，除了专家们能够掌握使用外，普通人是知其然而不知所以然。
所以旧的圆周率公式很不利于大众普及。 由于计算工具的快速发展，手工计算圆周率已成为历史。
然而，圆周率公式依旧复杂，普通人即使利用计算器或计算机计算圆周率依然很不方便。 值得庆幸的是：中国的许多数学家和众多的业余数学爱好者们前赴后继，利用中国古代的割圆术思想与现代数学知识相结合，诞生了今天的中国圆周率公式，该公式正好弥补了圆周率的千古缺陷。
所以，中国圆周率公式现今的主要作用是： 1、简捷、全面、准确的描述圆周率及相关性质。 2、快速、方便、有趣的计算圆周率。
2.圆周率的计算公式是什么
一、中国圆周率公式的分类 外国圆周率公式为高精度圆周率的计算立下了汗马功劳，并为许多数学人所熟习，但并不适合普通人使用，下面向数学爱好者和中学生们介绍一组中国人自己研究的普及型圆周率公式： 一基本公式： ⑴π=180°sinθ∕θ 、⑵π=180°∕（θ cscθ）、⑶π=180°tgθ∕θ 、⑷π=180°∕（θ ctgθ） 、（θ→0°θ>0°） 此类公式以圆内接或外切直角三角形或正多边形的边所对应的圆心角为计算依据，外形简单，计算方便，对圆周率的概括比较全面系统；同时，既是1弧度公式，又是1角度公式。
二派生公式： ⑸π=（n/2）*sin(360°∕n) 、⑹π=1∕（（2/n）*csc(360°∕n)） 、⑺π=（n/2）*tg(360°∕n) 、⑻π=1∕（（2/n）*ctg(360°∕n)） 、（n→∞， n≥5） 此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切直角三角形数量为计算依据，是专用性、针对性较强的圆周率公式。 三派生公式： ⑼π=nsin(180°∕n) 、⑽π=n/csc(180°∕n) 、⑾π=ntg(180°∕n) 、⑿π=n/ctg(180°∕n) 、（n→∞，n≥3） 此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切正多边形的边数为计算依据，是中国割圆术公式的典型代表。
四专业公式： ⑴π=2^n√（2-√（2+…√2+）…） ⑵π=3*2^n√（2-√（2+…√（2+√3）…） ⑶π=2*2^n√（2-√（2+…√2+）…）/√（2+√（2+…√2+）…） ⑷π=6*2^n√（2-√（2+…√3）…）/√（2+√（2+…√3）…） （n→∞，根式中有n个2） 专业公式可由基本公式或倍边公式推导，它们是割圆术公式的最高形式，是以圆内接或外切正四边形或正六边形为基础，不断分割至无穷，从而得到适合专家们使用的表达式。 根据以上公式和三角函数间的关系，还可导出更为复杂一些的圆周率公式。
二、中国圆周率的计算 在圆周率的日常应用中，我们根本不需要对其进行计算，因为数学家已经计算好了，直接拿来运用即可；但对于数学爱好者和中学生来说，亲自动手计算圆周率，将会进一步加深对圆周率的理解。 在计算机发明以前，圆周率的计算主要是靠手工计算和其他简易工具的计算，今天我们可以直接运用计算机或计算器进行计算，计算器的精度一般在10位左右，计算机上的计算器精度一般在30或60位左右，如果需要数以万计、亿计的精度，则需要将三角函数原始公式代入，转换成专业公式并编制专用程序进行计算即可，这里只是简单介绍常规计算。
圆周率公式非常多，我们只取其中几个最简单的中国圆周率公式进行讲解： ⑴ π=180°sinθ∕θ 、⑵ π=180°tgθ∕θ 、（θ→0°θ>0°） 一模拟计算正24576边形的圆周率（祖率） ∵ θ=180°∕24576=0.007324219° ∴ ⑴ π=180°sinθ∕θ =180°*sin0.007324219°∕0.007324219° =180°*0.0001278317363∕0.007324219° =3.1415926 ∴ ⑵ π=180°tgθ∕θ =180°*tg0.007324219°∕0.007324219° =180°*0.0001278317374∕0.007324219° =3.1415927 如果采用传统的割圆术公式（倍边公式）进行祖率计算，运算过程将达上百步，不管是采用手工还是计算器，其运算过程都是十分繁琐的。 二计算30位精度的圆周率（win系统计算器） 一般地，θ小数每增加一位，则π有效值增加两位。
为了简化运算，θ取值为1.8°*10^(-15)即可。 ∴ ⑴ π=180°sinθ∕θ =sin(1.8°*10^(-15))*180°∕1.8°*10^(-15) =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5*10^(-17) *180°∕1.8°*10^(-15) =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5 ∴ ⑵ π=180°tgθ∕θ =tg(1.8°*10^(-15))*180°∕1.8°*10^(-15) =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5*10^(-17) *180°∕1.8°*10^(-15) =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5 三十位或六十位的精度已能满足大多数科研及专业应用，成千上万、上亿位的精度主要是专家们为了检验圆周率公式及程序的优劣和计算机性能的高低等特殊需要而存在的。
三计算100位精度的圆周率（专业软件） 取π=2^n√（2-√（2+…√2）…） （n→∞） 该公式的精度一般为0.56n，即n=100/0.56≈180 π=2^180√（2-√（2+…√2）…） =3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 8 利用计算器、计算机计算圆周率效率极高，相信一定能够给数学爱好者和中学生们带来意想不到的效果。 三、中国圆周率的主要作用 在圆周率的历史长河中，由于计算工具和计算方法的落后，圆周率公式的推导主要是为手工计算而设计的，其主要作用就是为计算而计算，因而得出的圆周率公式非常复杂，除了专家们能够掌握使用外，普通人是知其然而不知所以然。
所以旧的圆周率公式很不利于大众普及。 由于计算工具的快速发展，手工计算圆周率已成为历史。
然而，圆周率公式依旧复杂，普通人即使利用计算器或计算机计算圆周率依然很不方便。 值得庆幸的是：中国的许多数学家和众多的业余数学爱好者们前赴后继，利用中国古代的割圆术思想与现代数学知识相结合，诞生了今天的中国圆周率公式，该公式正好弥补了圆周率的千古缺陷。
所以，中国圆周率公式现今的主要作用是： 1、简捷、全面、准确的描述圆周率及相关性质。 2、快速、方便、有趣的计算圆周率。
3.计算圆周率的公式有什么
计算圆周率的公式？
圆周率，是一个大于三且小于四的【无理数】。
我国的祖冲之的【祖率】，分疏率 22/7，和密率355/113.
看着简单，茫茫数字海洋，能够找出这几个数字用来近似表示【圆周率】，也实在不易！
常用的也就是 3.1415926535,,,,
到了高等数学，学了“级数”知识，可以用“泰勒级数”点的方法来逼近圆周率π。这也算是【公式】吧。写出来老长一大溜。
有资料显示，我国的电脑（大型计算机）可以将【π】计算到小数点后头1000万位。
4.圆周率的公式
PI/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239) (1) arctan(x) = x - x3/3 + x5/5 - x7/7 + 。
. (2) 很容易想到，要得到超高精度的 PI 值，实数在计算机中必须以数组的形式进行存取，数组的大小跟所需的有效位数成正比。在这个算法中，PI 的有效位数 n 随 （2） 的求和项数线性增加。
而为计算 （2） 中的每一项，需要进行超高精度实数除以小整数（52, 2392, 2k+1）的循环，循环所需次数也跟 n 成正比。所以，这个算法总的时间复杂度为 O(n2)。
这个算法的优点是简单，而且只需要进行整数运算。下面给出我写的算 PI 程序。
在程序中，我采用了一些提高速度的措施：超高精度实数以数组的形式进行存取，数组元素的类型为 64 位整数（long long），每个元素储存 12 个十进制位；对 xk (x = 1/5, 1/239) 的头部和尾部的 0 的数量进行估计，只对非 0 的部分进行计算。 pi.cpp C++ 源程序，在 Linux 下以 g++ pi.cpp -o pi -O2 编译 pi.s 在 g++ 生成的汇编程序的基础上进行修改，速度更快，在 Linux 下以 g++ pi.s -o pi 编译 另外，还有许多跟 （1） 类似的式子，但不常用。
例如： PI/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3) PI/4 = 8 arctan(1/10) - arctan(1/239) - 4 arctan(1/515) 第二类算法：与 1/PI 有关的级数 1/PI = (sqrt(8) / 9801) sumk=0~inf { [(4k)! (1103 + 26390k)] / [(k!)4 3964k] } (Ramanujan) 1/PI = (sqrt(10005) / 4270934400) sumk=0~inf { [(6k)! (13591409 + 545140134k)] / [(k!)3 (3k)! (-640320)3k] } (Chudnovsky) 以上两个级数（还有其它类似形式的级数，但不常用）比起 arctan 的泰勒级数要复杂得多。虽然仍然是线性收敛，总的时间复杂度也仍然是 O(n2)，但它们的收敛速度相当快， （Ramanujan） 每项可以增加 8 位有效数字， （Chudnovsky） 每项可以增加 14 位。
在这个算法中，除了要进行超高精度实数（数组形式）和小整数的运算外，还有一次超高精度实数的开方和倒数的运算，这需要用到 FFT（快速傅立叶变换），在下文叙述。 第三类算法：算术几何平均值和迭代法 算术几何平均值（Arithmetic-Geometric Mean, AGM） M(a, b) 定义如下： a0 = a, b0 = b ak = (ak-1 + bk-1) / 2, bk = sqrt(ak-1 bk-1) M(a, b) = limk->inf ak = limk->inf bk 然后，由椭圆积分的一系列理论（抱歉，过程我不懂）可以推导出如下公式： a0 = 1, b0 = 1 / sqrt(2) 1/PI = { 1 - sumk=0~inf [2k (ak2 - bk2)] } / 2M(a0, b0)2 (AGM) 根据这条公式可以制定适当的迭代算法。
在迭代过程中，有效位数随迭代次数按 2 的指数增加，即每迭代一次有效位数乘 2。算法中的超高精度实数的乘、除、开方等运算需要使用 FFT，在下文叙述。
综合考虑 FFT 的时间复杂度，整个算法的时间复杂度约为 O(n log(n)2）。 除了 （AGM） 以外，还有其它的迭代序列，它们具有同样的时间复杂度。
例如下面的这个序列将按 4 的指数收敛到 1/PI: y0 = sqrt(2) - 1, a0 = 6 - 4 sqrt(2) yk = [1 - sqrt(sqrt(1 - yk-14))] / [1 + sqrt(sqrt(1 - yk-14))], ak = (1 + yk)4 ak-1 - 22k+1 yk (1 + yk + yk2) 1/PI = limk->inf ak (Borwein) FFT 如上所述，第二和第三类算法不可避免地要涉及超高精度实数（数组形式存取的多位数）的乘、除、开方等运算。多位数乘法如果按照常规方法来计算，逐位相乘然后相加，其时间复杂度将达到 O(n2)。
使用 FFT 可大大减少计算量。 设有复数数组 a[k] 和 b[k] (k=0~n-1)，正向和反向的离散傅立叶变换（DFT）定义如下： （i = sqrt(-1)) b = FFTforward(a) : b[k] = sumj=0~n-1 ( a[j] e-i*j*2PI*k/n ) (3) b = FFTbackward(a) : b[k] = (1/n) sumj=0~n-1 ( a[j] ei*j*2PI*k/n ) (4) (3) 和 （4） 中的 （1/n） 可以放在任何一个式子中，也可以拆成 （1/sqrt(n)） 同时放在两个式子中，目的是保证正向和反向傅立叶变换以后不会相差一个因子。
当 n 的所有素因子均为小整数，尤其是当 n 为 2 的整数次幂的时候，使用适当的算法经过仔细的协调，可以避免多余的计算，使离散傅立叶变换 （3） 和 （4） 减少至 O(n log(n)） 的时间复杂度，即所谓的快速傅立叶变换（FFT）。具体的细节请查阅相关书籍。
下面给出我写的一段 FFT 程序，仅供参考。另外也有已经开发的 FFT 函数库，例如 FFTW ，可以直接使用。
fft.cpp FFT 的 C++ 源程序 利用 FFT，要计算 n1 位和 n2 位的两个多位数乘法，可以这样进行：开辟两个长度为 n(n>=n1+n2，取 2m 最佳) 的复数数组，将两个多位数从低位到高位分别填入，高位补 0。对两个数组分别进行正向傅立叶变换。
将得到的两个变换后的数组的对应项相乘，然后进行反向傅立叶变换，最后得到一个结果数组。由于傅立叶变换是在复数域中进行的，因此还要对结果数组进行取整和进位，才能得到最终的乘积。
值得留意的是傅立叶变换的精度问题。我们知道，在计算机中实数用单精度数或双精度数表示，它们会存在一定的误差。
在计算多位数乘法时，n 往往是一个很大的数字，傅立叶变换过程中需要对数组的每一项进行求和，如何保证精度带来的误差不会因为求和而超出允许的范围？我的观点是必须使用双精度实数，而且由于统计特性，精度带来的误差在求和过程中不会很大，一般不会影响计算的正确性。如果需要保证计算的正确性，我想到两种检查方法。
第一。
5.圆周率怎么计算出来的
古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。
马青公式
π=16arctan1/5-4arctan1/239
莱布尼茨公式
π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……
6.圆周率的公式如何表示
圆周率古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。
下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。
1、马青公式π=16arctan1/5-4arctan1/239这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。
虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。2、拉马努金公式1914年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。
这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。
丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法高斯-勒让德公式： 圆周率这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。
4、波尔文四次迭代式：这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的。5、bailey-borwein-plouffe算法6.丘德诺夫斯基公式7.莱布尼茨公式圆周率的计算如下：在圆中画等边的多边形来实现，划分越多越接近圆周率，设圆半径为a1）等边三角形，圆心到三个顶点的距离是一样的，三角形的面积为3√3/4*a^2=1.332a^22）正方形，面积为2a^23）等边五角形，面积为2.377a^24）等边六角形，面积为3√3/2a=2.598a^2从数值可以看到变化趋势：1.332,2,2.377,2.598。
.越来越接近3.141592654。老祖宗祖冲之就是靠多边形这样计算出来的，只不过他比我们困难，因为那时不能使用三角函数表，还需要自己去计算。
我们要得到小数点后超过4位的准确数字，我们也只有自己计算，因为三角函数表就4位有效数字。
.这样一直计算下去，其结果将越来越接近π（圆周率），为计算方便，可以从正方形到八边形 π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……π不是个公式，它只是一个定值 c÷2r=π此为转载。